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北京师范大学出版社《直观拓扑》书评

北京师范大学数学科学学院王敬庚

2008-06-04 15:05:10 来源：北京师范大学出版社2008-05-13

拓扑学是几何学的年轻分支之一，作为近代数学的基础理论学科，拓扑学的理论和方法已经渗透到数学的许多分支以及物理学、化学和生物学之中，而且在工程技术和经济领域中也有广泛的应用。将拓扑学的基本思想和方法直观而通俗地介绍给中学数学教师，并在中学数学教学中渗透拓扑学的思想，是时代对我们的要求，十分必要。

《直观拓扑》是由那些题材有趣、讲法通俗直观，又能反映拓扑学的基本思想和方法的内容编成的，是北京师范大学数学科学学院开设的选修课程“直观拓扑”的教材。本书内容包括：什么是拓扑学？多面体的欧拉公式；七桥问题和地图着色问题；几个拓扑定理（约当曲线定理，布劳威尔不动点定理等）；曲面（包括闭曲面的分类）；基本群和同调群的直观描述；初等突变论简介；等。

书中不去讨论各式各样抽象的拓扑空间以及它们的性质，而是用拓扑的方法对欧氏空间中的几何图形的性质进行讨论。讲法尽可能直观通俗，不追求理论上的严格，目的是为了让读者了解拓扑学的基本思想和方法，扩大眼界。的确，书中没有出现抽象的拓扑空间的概念，关于拓扑变换也没有给出数学上的抽象的严格定义，而是给出它的直观描述——橡皮变形。

开设“直观拓扑”选修课是高师院校数学专业面向中学数学教育进行课程改革的一个新的尝试。北京师范大学数学科学学院除了在本系学生中开设这门选修课外，还在在职中学教师专升本的函授班中开设了这门“直观拓扑”选修课。

在职中学教师在函授班中学习了这本《直观拓扑》以后普遍反映很有收获，主要收获是：

⑴初步了解了拓扑学的基本思想和方法，拓宽了关于几何学的视野，增长了见识，丰富了对空间图形的想象力。

⑵提高了对数学的认识，原来抽象的数学还有生动直观有趣的一面，因此提高了对学习数学的兴趣，增强了求知欲。

⑶认识到通俗直观对理解数学概念会起到很好的辅助作用，使学生易于并乐于接受，这对从事中学数学教学有较大的启发和示范作用，不少学员反映学了这门课以后自己的教学方法有了明显的改进。

⑷不少学员在学完这门课以后，把书中中学生能够接受的部分，如多面体的欧拉公式和五种正多面体、七桥问题、莫比乌斯带等内容向自己的学生作了介绍，引起学生们极大的兴趣。他们认为《直观拓扑》的部分内容是中学开展第二课堂和课外兴趣小组活动的极好材料。不少学员建议把《直观拓扑》列为中学数学教师继续教育的必修科目。

现在正在进行的《普通高中数学课程标准》（以下简称《课标》）改革实验，把《欧拉公式和闭曲面分类》列为选修课程。这本《直观拓扑》是中学数学教师进行《课标》中有关这一方面内容的业务进修和教学的很好的参考书。

尽管拓扑学形成一门独立的学科只不过是近一个多世纪的事，但拓扑学概念的起源却要上溯到数学家欧拉的时代。1736年欧拉发表的《哥尼斯堡的七座桥》要算是“位置几何学”（拓扑学）最早的论文了。1750年欧拉重新发现了关于凸多面体的顶点数、棱数和面数的关系式，即著名的欧拉公式，它的推广至今仍是代数拓扑学的中心内容之一。

如果我们以为只要画几个凸多面体，数一数它们的顶点数（v）、棱数（e）和面数（f），再计算一下各自的“v—e+f”，看一看等于多少，结果就“发现”了欧拉公式v—e+f=2，如果果真是这样，数学的发现岂不是太容易了。其实这些充其量只不过是欧拉公式的一些验证而已。那么当初欧拉是如何发现上述公式的呢？《直观拓扑》书中专门介绍了欧拉所经历的发现这一公式的全过程。让我们亲眼目睹了一位大数学家是如何进行科学研究与发现的。看到欧拉是如何通过类比提出问题的，如何着手来解决问题的，又是如何进行归纳并在归纳中有所发现得出猜想的。最后，猜想必须经过严格的证明才能成为事实。这一发现的过程，不仅是生动有趣的，而且对我们是非常有教益的。我们从发现的过程比从发现本身能学到更多的东西。这正是上述《课标》中的要求：“引导学生探索发现欧拉公式的过程，帮助学生体会数学家的创造性工作”。

同样，为了向读者展现数学大师欧拉是如何研究解决问题的具体思考过程，《直观拓扑》书中还收录了欧拉关于七桥问题的论文。从中我们看到了欧拉如何把具体的实际问题抽象为一个一般的数学问题，如何从最简单的情形入手一步步地解决，又如何得到一般的方法，并使之简化，程序化，易于判断和操作，使解答更加完美。这一研究、思考、解决问题的全过程是在一般教科书中难以看到的。

我国著名拓扑学家、中科院姜伯驹院士看到本书出版前的油印讲义后“觉得这本教材对培养中学数学教师非常好，希望能正式出版。”出版时又为本书撰写了序言。姜先生在序言中写道：“目前师范院校的许多教材脱胎于综合大学为研习现代数学打基础的课程，有些学校的拓扑课程偏重于讨论拓扑空间与连续性等抽象概念，未能很好地反映拓扑学的主要精神。拓扑学之所以富有活力，对整个数学发生重大影响，首先是因为它带来了新鲜的几何思想，开辟了几何学的新天地。怎样用不太多的时间，通过具体的题材，深入浅出地使学生领略拓扑学的特色和威力，这是师范院校课程建设中引人注目的问题，也是数学普及工作的重要问题，因几何学和拓扑学的普及是薄弱环节，而中学教师又是普及工作的主力军。”“北京师范大学为此进行了多年的探索和试验，这本《直观拓扑》就是其结晶。浅的书要写得好是很不容易的。题材要引人入胜；讲法要直观易懂；内容又要经得起推敲，不能以谬传谬。这本书兼顾了这几方面的要求，是难能可贵的。我希望师范院校能推广这样的课程，并且也向广大数学爱好者推荐这本书。”

目前国内同类书还不多见。

来源：北京师范大学出版社2008-05-13

本版责编：姜舒

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