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数理方法在西方经济学中的应用与发展 ———评高山晟的《经济学中的分析方法》

刘凤良（中国人民大学经济学院，北京100872）

2002-10-08 11:23:20 来源：

　　由西方学者高山晟（Akira Takayama）编写的《经济学中的分析方法》（Analytical Methods in Economics）（以下简称《方法》）一书已由中国人民大学出版社翻译出版。本文将结合数理分析方法在西方经济学中的应用与发展对该书加以评论。

一

　　《方法》一书的作者高山晟1932年出生于日本，早年就读于东京国际教会大学，1957年获经济学学士学位。20世纪50年代末就读于美国罗切斯特大学。这期间，他师从著名数理经济学家麦肯齐（Lionel W.McKenzie）和琼斯（Ronald W.Jones），并分别于1960年和1962年获得该校的经济学硕士和博士学位。曾任教于英国的曼彻斯特大学、日本的东京大学、美国的普杜大学，90年代初任美国南伊利诺伊大学范迪维尔讲座教授。
　　高山教授的研究领域涉及西方经济学的众多方面，发表了许多重要的论文和著作，其中大部分研究成果是借助于新古典的数理分析方法得到的。高山教授的成名作是1974年出版的《数理经济学》一书。该书是流行于20世纪七八十年代的标准的数理经济学教科书，被西方许多著名高校选用为教材，并于1975年获得日本经济研究中心颁发的年度经济学和管理学最佳著作奖。《数理经济学》以西方经济理论为基本框架，强调理论体系与数理分析工具的一致性，以经济理论涉及的内容选择数理分析工具和方法，从而使得读者理解并熟悉这些方法在经济学分析中的应用。
　　《方法》是高山晟继《数理经济学》之后又一重要著作。如果说《数理经济学》侧重于数理方式表述的经济学理论，而《方法》则更侧重于经济学分析中的数理方法。此外，与前者相比，《方法》更能反映数理分析方法在经济学中的应用与发展，但同时更为通俗易懂，因而被认为是一本数理经济学的入门教材。

二

　　在当今西方经济学至少是所谓的“高级”西方经济理论中，数学已经成为阐述理论内容的基本要素或者说是通用语言。为了区别于以语言叙述为主的（或者说“初等”）经济理论，西方学者把用数学的语言、概念和方法表述出来的经济学理论称为“数理经济学”。
　　运用数学方法研究经济问题的思想由来已久。早在17世纪中叶，英国古典政治经济学的创始人之一威廉·配第就曾在他的《政治算术》一书中运用数学来说明经济问题。法国重农学派的创始人魁奈更是在《经济表》中运用大量的数学方法来论证部门之间的相互联系。不过，当今西方经济学界普遍认为，真正以严密的数学形式来表述经济理论的人应该是法国人古诺。
　　在《财富理论和数学原理研究》一书中，古诺“不仅要进行理论性研究，而且还要对之应用数学分析的形式及符号”［1］。他建立了经济现象之间的函数关系，运用线性代数和微积分方法分析交换和需求规律的基本性质，并在探讨垄断、双寡头垄断、寡头垄断条件下的价格决定等问题时提出了利润最大化原则，从而为边际方法分析经济当事人的决策奠定了数理基础。后来，德国经济学家戈森亦运用数学来研究“人类享受规律”。戈森在1854年出版的《论人类交换规律的发展及人类行为的规范》一书中，提出了连续满足同一享受会出现享受量递减的“戈森第一定律”，这事实上是运用数理方式表述的边际效用递减规律。不仅如此，戈森在探讨获取最大满足的过程中提出的“第二定律”，即满足所有的享受，并使得每一种享受量在其满足被中断时保持完全相等，事实上是效用最大化的一阶条件。古诺和戈森的著作对数理经济学的形成无疑是开创性的。
　　然而在当时，古诺和戈森的经济理论特别是分析论证这些理论观点的数理方法并没有得到经济学界的认可，甚至可以说受到的是冷遇。这种状况直到19世纪70年代出现的“边际学派革命”才得到改善。由于受到边际学派的代表人物杰文斯和瓦尔拉斯等人的推崇，古诺和戈森的著作才获得新生。西方经济学界在把边际效用价值论作为经济学基础的同时，也开始把数学中的“导数”作为说明经济当事人最大化行为的基本分析工具和语言。借助于边际学派对新古典经济学所产生的影响，数学分析方法及其数理经济学得到迅速的发展。杰文斯1871年出版的《政治经济学理论》、瓦尔拉斯1874年出版的《纯粹政治经济学要义》以及帕累托1906年出版的《政治经济学教程》被认为是数理经济学的主要代表作。也正是从这一时期开始，数理分析才见重于西方经济学，数理经济学才真正产生。
　　伴随着边际学派革命和新古典理论的形成，数理分析方法在西方经济学中的广泛应用已经成为“一种强有力的、不可抵御的思潮”［2］。杰文斯在把经济学的列车开上资源配置这一轨道［3］的同时，也把数理分析工具装上了这列火车。也就是说，当西方经济学把研究对象确定为资源配置时，就隐含地确立了经济学与数学的必然联系。按照西方经济学的一般定义，经济学要研究稀缺资源的配置问题。由于相对于人们的欲望而言，资源是稀缺的，所以面对稀缺的资源，人们不得不做出选择。而选择是要有目标的，没有目标就无所谓选择。在特定的目标下将一定数量的稀缺资源配置在不同的用途下，这恰好与最优化问题及其解决方法相吻合。进一步讲，在市场经济条件下资源配置的核心是各种资源的价格和数量的决定，于是，一旦商品和价格的计量单位得以确定，任何经济活动都可以由特定的投入或产出以及它们所形成的数量空间表示出来。这样，以分析数量空间见长的数学工具成为研究经济理论的基础这一点就不难理解了。同时，建立在这两个空间之上的数理方法也就都可以为经济分析所用。数理经济学后来的发展已经印证了这一点。

三

　　数学方法在西方经济学分析中的应用及发展状况可以说与在商品和价格数量空间上应用数学工具的进展相一致。一般认为，从数理经济学诞生至今，经济学中数学方法的应用进展大致可以划分成三个相互衔接的历史阶段。［4］
　　1838年到1947年以微积分为基础的边际分析阶段是第一阶段。这一阶段的数理方法在经济理论分析方面的应用及进展体现为新古典边际分析方法的扩展。作为最基本的数学原理，微分学和线性代数最早被应用于商品和价格空间的分析。在这一时期，承袭杰文斯的分析方法，消费者的行为被处理成既定价格和收入约束条件下的效用最大化问题。借用微分学中的极大值原理，通过对效用最大化必要条件的分析可以得到消费者的需求曲线，厂商的供给则被看成是既定商品和要素价格条件下的利润最大化的结果。另一方面，瓦尔拉斯的分析在局部均衡和一般均衡中得到进一步扩展，市场和经济的均衡被表示为两个或多个方程组的解。在这一框架下，微积分中的导数、偏导数和拉格朗日乘数之类的分析工具被用来刻画最大值的条件和性质。由积分所给出的消费者剩余和生产者剩余的概念用以说明竞争性均衡的经济效率。同时，借助于微积分所蕴涵的丰富的动态变动特征，均衡的稳定性得到说明。在这一时期，希克斯的《价值和资本》及萨缪尔森的《经济分析基础》是反映边际分析及其应用成果的代表作。希克斯的著作尽管涉及当时西方经济学基本内容的许多方面，但其贡献被认为是数理方法在经济分析中的应用。正如希克斯自己所言：《价值和资本》成为一本书，“……根据不在于论题的统一，而在于方法的统一。我相信我很幸运地找到一种可以应用于广泛的经济问题上的分析方法。”［5］希克斯在这里所指的方法即是洛桑学派的序数主观价值论基础上的一般均衡分析。希克斯为表述这种分析方法而给出的数学附录，不仅清晰地勾画出从局部均衡到一般均衡的分析框架，而且运用微分学的基本方法得出了均衡的条件、均衡的比较静态分析、均衡的静态稳定性特征等重要结果，从而为20世纪数理经济学基本范式的确定奠定了基础。
　　如果说希克斯《价值和资本》的贡献还主要在于把一般均衡的思想扩展到了新古典理论之中，那么，萨缪尔森的《经济分析基础》则更像是一本数理分析的工具书。萨缪尔森要做的是论述一般的数理方法对理论经济学和应用经济学的意义，并运用一致的数学原理证明经济学的不同领域之中存在的形式类似的定理。萨缪尔森表述的数理经济学核心方法是微分学中对有约束条件下极值问题的构造和解析。在那里，消费者行为被表述为既定收入约束条件下的效用最大化，生产者的行为被表述为既定产量下的成本最大化以及利润最大化，而帕累托最优状态则被表示为在其他当事人效用不变的条件下某一当事人的福利最大化。在这一框架下，经济当事人的最优选择的结果由极值问题的一阶和二阶条件的特征反映出来。同时，参数变动或外部经济条件变动对经济当事人均衡状态的影响以及这一状态随着时间调整，也借助于均衡的比较静态和动态分析表示出来。萨缪尔森描述的方法和框架在当时西方经济学界不仅被认为是节省语言描述的途径，而且也被视为经济学分析技术的进步，在很长的时间内作为表示新古典理论数理版本的范式。
　　数理分析方法发展的第二阶段大致从1948年到1960年，这一阶段典型的特征是应用集合论和线性模型作为基本分析工具。随着经济学和数学的发展，越来越多的数学工具被用于经济理论的分析。冯·诺伊曼和莫根斯特恩的《对策论和经济行为》标志着数理分析在传统的微积分基础上向以集合理论和线性代数为基础的方向发展。从数学的逻辑角度看，应用集合论意味着可以用更一般的函数形式（或对应）来代替那些在经济上缺乏充分依据的连续可导的函数类型，而线性模型一方面可以作为非线性模型的逼近，从而使得某项资源的“边际”更为具体，另一方面又可以处理那些具有“顶点”之类的经济问题。在这一阶段，凸分析最先在经济活动分析中得以应用，线性规划成为消费者行为理论、生产者理论和福利经济学等经济学领域在处理既定资源约束条件下最优化问题时的基本工具。
　　早在1937年，冯·诺伊曼就以德文发表了“一个一般均衡模型” ① 。在这篇论文中，诺伊曼建立了一个具有扩展性的投入—产出模型。这一论文对经济理论特别是数理经济学产生的影响至少表现为三个方面:一是他所建立的投入—产出模型是以线性不等式而不是以方程形式表示出来的，这不仅是列昂惕夫投入—产出模型的前身，而且也是康托罗维齐和库普曼斯等人研究线性规划及其经济行为的出发点;二是他所采用的模型具有扩张的性质，因而为随后的线性增长模型时代做出了开拓性工作;三是为了证明最优扩张路径的存在性，诺伊曼在一系列公理体系假设之下运用了布劳维尔不动点定理的思想，从而为一般性地证明一般均衡存在性指明了方向。但遗憾的是，由于诺伊曼的论文比当时任何已经发表的数学文献都要高深［6］，加之论文以德文写就，因而当时并没有产生多大影响，这种情况直到该论文在1945年以英文发表之后才发生变化。
　　与诺伊曼的前两个方面的影响相联系，1948年到1960年可以说是数理经济学发展的线性模型时代。在这一时期，以里昂惕夫为代表的投入—产出分析，摩根斯特恩、盖尔等人的线性一般均衡模型和多部门增长模型，都对西方经济学数理分析的发展产生了重要影响。同时，线性规划更多地被应用于纯理论方面的探讨，许多重要的结论被概括在多夫曼、萨缪尔森和索罗合著的《线性规划与经济分析》一书中。此外，以集合论为基础，以线性分析作为工具，对经济当事人的行为策略进行分析大大地扩展了微积分的分析思想，为90年代对策理论的兴旺奠定了坚实的基础。上文提到的冯·诺伊曼和摩根斯特恩的著作以及在1994年获得诺贝尔经济学奖的纳什在50年代的论文对此均做出了重要的贡献。
　　与上述诺伊曼第三个方面的影响相联系，以集合论作为研究工具分析特定公理体系约定下的经济行为成为数理经济学的时尚。长期以来，在西方占主导地位的新古典经济理论把论证“看不见的手”原理作为其基本命题。在新古典理论框架中，看不见的手引导着理性经济人实现市场的均衡，而这一均衡状态又是社会最优的。为了论证这一思想，经济系统中所有市场同时均衡的存在性以及均衡的效率就必须得到说明。然而，多市场的一般均衡如此复杂，以至于很难用需求和供给规律的有关信息得到说明。当人们更一般地把均衡看成是需求与供给之间的差额，不得不对价格做出调整并最终保持不变的状态时，建立在价格和数量两个集合之上的数学理论特别是其中若干不动点定理自然成为数理经济学家们进行理论分析的强有力的工具。诺伊曼在证明最优增长过程中给出的引理被重新加以表述并由角谷于1941年给出了一个证明。至此，布劳威尔不动点定理和角谷不动点定理成为证明存在性问题的必要工具，新古典理论的许多命题，诸如效用函数的存在性、竞争性均衡的存在性及其与帕累托效率之间的关系等基础性命题得到严格的论证。把这一时期的数理经济学归于一般均衡论时代一点也不为过。在这方面，阿罗、德布鲁和麦肯齐等人做出了很大的贡献，德布鲁的《价值理论》可以认为是其中最杰出的代表性著作。
　　1961年至今，数理分析方法在经济学中的应用进入其发展的第三个阶段。我们已经很难用一两个数学领域在经济学中的应用作为这一阶段的特征了，经济分析中不只使用微积分、集合论和线性模型，而是综合运用各种数学概念和研究成果，所以，阿罗等人主编的《数理经济学手册》把这一时期归于综合阶段。从数理分析的工具来看，这些方法主要涉及数学的5个方面：在以数学分析和凸集合理论为基础的经典数学在经济学中的应用得到进一步加强的同时，泛函分析和拓扑学也被用于分析大经济系统中的经济问题，而线性模型基础上发展起来的数学规划成为经济当事人决策的典型方法；以概率论为基础分析不确定问题的数学方法被用于研究风险、保险、资产组合等经济问题;对策论被广泛应用于寡头竞争等领域;微分方程理论成为解决经济系统动态问题特别是经济增长问题的关键技术。动态最优控制理论被用于分析最优经济增长问题。从内容上来看，上述分析工具在经济学中的应用几乎涉及了西方经济学的所有论题。以上提到的《手册》一书仅列举了1961年到70年代末数理经济学研究的重要论题就达11个之多，其中包括对偶理论、不确定性和信息问题、总量需求理论、经济的总体分析、暂时和一般均衡分析、社会选择和组织、最优控制和最优增长等分支。
　　这一时期，经典的一般均衡理论及其扩展仍然是数理经济学最为活跃的一个领域。传统的阿罗—德布鲁框架是建立在完全竞争条件下的，尽管不确定条件下的一般均衡问题曾得到说明，但不确定事件因外生给定而被作为商品特征加以考虑，而且经济当事人被赋予了完全预见能力。所以，一般均衡理论首要的扩展是将不确定性带来的不完全性引入到模型之中。在一个不确定的经济中，一般均衡是否存在，其福利特征如何?这些问题成为一般均衡理论扩展的重要内容。其中跨时资产交易、不完全期货市场的资产定价就是这方面的例子。此外，一般均衡框架中系统内生的不确定问题也受到重视，理性预期条件下的“太阳黑子”均衡存在性得到证明。第二个值得注意的扩展是无限维空间的一般均衡理论。传统的阿罗—德布鲁模型事实上把商品假定为有限，但在分析无限时间范围、产品差异、不确定条件下的决策等问题时，这种假设却显得过于严格。无限多个商品和价格空间上的一般均衡存在性及其效率在一般条件下得到证明。第三个扩展方面则涉及规模收益递增与非凸性分析。垄断因素和收益递增在经济生活中随处可见，但如果把这些因素引入一般均衡之中，将导致传统的凸分析失效。在这方面，两种分析技术被广泛使用，一是对非凸的生产可能集上的厂商施加诸如边际成本定价和平均成本定价之类的约束，二是“外在性的处理方式”，但单个厂商最优决策在凸的生产可能集实现，但整个经济的生产呈现非凸特征。这后一种处理方式已经成为宏观经济学新近发展起来的内生经济增长理论最基本的分析方法。
　　在这一时期发展迅速的第二个领域是对策论。50年代，在线性理论的基础上，纳什等人为非合作对策的一般理论和合作对策的谈判理论奠定了基础。60年代以后则是对策论大发展的时期。更重要的是，在这一时期，对策论与经济理论更为紧密地联系在一起，对策论几乎改变了经济学特别是微观经济学的论题和叙述方式。自纳什给出纳什均衡并证明了均衡的存在性之后，围绕着这一概念的扩展，激发了对策论的理论和应用研究。从理论上看，纳什均衡在动态环境以及不完全信息条件下的扩展衍生出子对策纳什均衡、贝叶斯纳什均衡和精炼的贝叶斯纳什均衡概念。从应用的角度来看，对策论逐渐被应用于政治、军事和经济理论研究。在经济学方面，对策论不仅被用于分析寡头市场和产业组织问题，而且还开辟了信息经济学研究的新领域，对策论已经成为分析委托—代理、信号传递、寻找等问题的基本方法。
　　第三个重要的发展是最优控制问题及其在经济学中的应用。长期以来，跨时选择等动态最优化问题依靠古典的变分法加以解决。20世纪50年代，以庞特里亚金为首的原苏联的一批数学家提供了一系列最优控制理论的基本方法，形成了最优控制理论。这些理论扩展了求解动态最优化问题的一般方法。1962年，庞特里亚金等人的论文被翻译成英文发表，这极大地鼓舞了正关注于最优增长和最优存货调整问题研究的经济学家和管理人员，从而使得最优控制理论在经济学领域得到了迅速的应用和发展。60年代中期，凯斯（David Cass）和库普曼斯（Tjalling Koopmans）将资本的最优积累和最优消费的确定引入索洛等人的新古典经济增长模型，从而建立了一个以一般均衡为基础的最优经济增长模型。无论是在新古典经济增长理论中，还是在随后的新经济增长理论中，以最优控制理论为基本分析方法的动态最优模型都是研究经济增长问题的基本框架。
　　除了上述三个重要的领域以外，围绕着不确定性、动态化以及新古典理论假设条件的违反，随机微分分析、测度理论和模糊集合论等大量的数学方法应用于经济理论研究。可以毫不夸张地说，伴随着新古典体系的扩展，当今数理经济学的发展现状是，几乎所有的经济学方法都能在经济理论中找到应用的范例。

四

　　如此庞大而复杂的内容若想在一本入门性的教科书中反映出来无疑是非常困难的。然而，《方法》一书却在这方面做出有益的尝试。
　　首先从包含的内容范围来看，《方法》反映了目前在西方经济理论分析中常用的和基本的数理工具。如上所述，数学工具在西方经济学中的应用在过去一个多世纪的时间里已经得到了长足的发展。那么，反映这种发展及其经济学分析中所使用的基本数理工具应该是数理经济学著作所具备的基本特征。《方法》一书较为合理地把这些内容组合在一起。为了避免应用过于繁杂的数学知识，在《方法》一书中，作者主要阐述了非线性规划、不确定性经济学、微分方程理论和最优控制理论这四种数理分析工具，这基本反映了在当今数理经济学框架中发展起来的并在西方经济理论界普遍使用的工具。非线性规划是建立在传统的微积分和集合论基础上最适合于描述经济当事人最优化行为的分析方法，是建立以完全竞争为主要分析对象的数理微观经济学的基础;不确定性分析对消费者选择理论的扩展体现了不确定性经济学的核心思想;微分方程理论是求解经济变量随着时间变动轨迹及其稳定性的基本方法，市场均衡的稳定性、经济增长的收敛特征等常常需要微分方程作为工具;而最优控制理论则是解决动态最优化问题的典型方法。
　　其次，从内容的方法结构安排上看，《方法》既是对数理分析的描述，又是一本经济学教材。在基本数学方法的意义上，绝大多数数理经济学教材以两种方式加以表述。其一，以经济学中所使用的数学工具为线索，指出这些方法在各个经济学具体内容上的应用，并对相应的结论给出证明。其二，以主流的经济学理论为框架，分析说明消费者行为、生产者行为、市场均衡、宏观经济调整等理论，并以数学语言加以论证。这相当于我们通常见到的高级微观经济学或高级宏观经济学。而《方法》一书倾向于综合上述两种方式的优点。
　　《方法》一书是以上述四种主要的数理分析工具为线索安排内容的，但它并没有因此而成为一本经济数学的教材。除了基本的数学准备以外，书中论述的四种分析方法所涉及的论题恰好是由微观经济学和宏观经济学组合而成的一本经济学教材。其中，非线性规划主要用于说明消费者和厂商最优选择的基本条件、均衡的比较静态分析以及敏感性分析，霍特林引理、罗伊等式以及收益最大化与成本最小化之间的对偶关系等基础微观经济学理论得到说明;对经济中不确定性的讨论则主要集中于预期效用假说及其保险、资产组合选择等方面的应用，受到广泛关注的信息不对称问题也在预期效用理论框架中得到了完整的说明;微分方程部分构成了一个动态的宏观经济学模型，短期的凯恩斯模型和说明长期问题的新古典增长模型是应用这一分析方法的例子;最优控制理论部分则应用于分析最优经济增长、最优货币政策以及永久性收入假说等若干宏观经济学论题。在阅读书中论述的经济学分析方法的同时，我们不仅能学会使用这些工具，而且也能了解到西方经济学的基本内容以及某些重要的发展动态。
　　第三，从内容叙述的方式看，正如高山教授在《方法》一书的前言中所述，该书避免了“定义—公理—定理”的模式，而强调缘由、解说和经济实例。不同于大多数的数理经济学教材注重于数理问题的求证，《方法》将有关数学结论的证明置于次要的地位，而把这些数理分析工具的逻辑思路和分析结构突出出来。作者并不想论述分析工具的制作原理，而是试图借助于较为简单的经济问题的背景为读者建立分析一般理论的数理分析框架，从而极大地降低了学习数理分析方法的门槛。此外，由于高山教授在数理经济学研究方面的造诣和丰富的教学经历，使《方法》一书非常简捷和通俗。我国大学经济类二年级以上的学生所具备的经济学理论背景和数学知识使他们能够阅读该书。
　　需要说明的是，《方法》一书没有包含有关对策论及其在经济学中应用的内容应该说是一个缺憾。对策论方法已经成为一种主流的数理分析工具。我们只能通过其他方式来弥补这一点了。

［参考文献］

　［1］古诺.财富理论的数学原理的研究［M］.北京:商务印书馆，1994.17.
　［2］伊特韦尔，等主编.新帕尔格雷夫经济学大辞典（第3卷）［Z］.北京:经济科学出
版社，1992.429.
　［3］西德尼·温特劳布主编.当代经济思想［M］.北京:商务印书馆，1989.2.
　［4］ Arrow，K.J.and Intriligator.M.D..Handbook of Mathematical Economics［Z］.1981.1.
　［5］希克斯.价值和资本［M］.北京:商务印书馆，1962.1.
　［6］伊特韦尔，等主编.新帕尔格雷夫经济学大辞典（第4卷）［Z］.北京:经济科学出版社，1992.883-887.

来源：中国人民大学学报

本版责编：孟婉霞

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